2016 年山西预赛 · 第 8 题

解答

利用 $1/(t+1)=1/(t-1)-2/(t^2-1)$，得 $a_k=2^k/(3^{2^k}-1)-2^{k+1}/(3^{2^{k+1}}-1)$。故 $A=1/2-1024/(3^{1024}-1)$。又 ${\prod }_{k=0}^9(3^{2^k}+1)=(3^{1024}-1)/(3-1)$，分子中二的幂总数为 $0+\cdots +9=45$，所以 $B=2^{46}/(3^{1024}-1)$。相除得 $\boxed{(3^{1024}-2049)/2^{47}}$。