2021 年江西预赛

解答

设

其中 $h,m,n>0$。圆 $\omega$ 的方程为

直线 $AC$ 上的点可写成

代入 (1)，除去对应点 $A$ 的根 $t=0$，得到 $t=h^2/(h^2+n^2)$，故

同理，

圆 (1) 在圆上一点 $(x_0,y_0)$ 处的切线方程为

因此 $E,F$ 处的两条切线分别为

因 $△ABC$ 为锐角三角形，

故 $h^2\ne mn$，两切线有唯一交点。联立 (2)、(3)，得到

设 $K$ 为 $BC$ 的中点，则

直线 $AK$ 的方程为

把 (4) 代入 (5)，左端为零，所以 $A,P,K$ 三点共线。 因此直线 $AP$ 就是 $△ABC$ 中从 $A$ 引出的中线。