同一骨架 2024 年上海预赛 · P006586
定线段两端与动点构成的两个向量点积为零，可以展开为以该线段为直径的圆或球面。识别轨迹后，再用圆心距离与半径处理最终几何量，比一直展开坐标更清楚。
平面题还要对变化的端点优化最远距离；空间题的端点固定，额外平面把球面截成圆，最后所求量也随之改变。
培玉 · 一试
2023 年上海高中数学竞赛（高三卷）
F3填空题立体几何综合
已知长方体 中，，。 是平面 上的一个动点，且
则满足上述条件的所有点 所围成的平面区域的面积为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
数量积为零说明 ，所以空间中的轨迹是以 为直径的球面。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
思路
题目所求是该球面被平面 截得的圆所围面积。
解答
取
以 为直径的球的球心为 ，半径为
平面 的方程为 ，故 到该平面的距离为 。截圆半径 满足
因此所围平面区域的面积为
复核
与 等价于 ；截平面到球心的距离小于半径，确有非退化截圆。
方法总结
空间中“定线段两端对动点所张角为直角”的轨迹是以该线段为直径的球面；再与给定平面相交，用勾股关系求截圆半径。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
需把DP点乘PB为0识别为直径DB的球面，再和给定平面求截圆；球心到平面的标准距离决定截圆面积。
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