2024 年吉林预赛

思路

正数u、v满足 $u+v\ge 2\sqrt{uv}$，等号仅u=v。递推中倒数可裂项，相邻乘积可形成差为常数的新数列。

想法从哪来：看到求倒数和，先把递推移项，倒数已是隔项差，因此不需要先解通项。但端点仍是两项的和，如何估计？把递推乘上中间那一项，相邻项乘积的增量恰为一，这给出可精确控制的乘积。于是裂项后的和可用均值不等式压住。题目要求严格大于，乘积固定本身只能给非严格界；应再追踪奇偶子列，看末尾偶数项是否可能恰为均值等号需要的数。由隔两项的比例关系建立一个严格归纳不等式，就能排除等号，而不必计算那两个巨大分数。

递推式本身给出倒数裂项；另外用相邻项乘积固定后的 AM--GM 并排除等号。