2022 年四川预赛

解答

十二个棱中点组成集合

它们都在球面 $x^2+y^2+z^2=2$ 上。直线与球面至多有两个交点，所以 $\mathcal{M}$ 中任意三个不同点不共线。因而每个三点组都唯一确定一个平面，共有

个按三点组计数的平面。

下面分类找出含至少四个中点的平面。

先看过原点的平面。十二点组成六对反点，取每对中的一个方向，可写成

若两个方向的零坐标位置相同，它们张成一个坐标平面，共有 $3$ 个，每个含 $4$ 个中点；若零坐标位置不同，它们张成形如

的平面。后一类在整体变号视为同一方程后共有 $4$ 个，每个含 $6$ 个中点。

再看不过原点的平面。将方程归一化为

若该平面含至少四个中点，则按零坐标的位置分成三组后，至少有一组贡献两个点。不妨考察四个点 $(0,\pm 1,\pm 1)$；要同时取到其中两个点，必有

对另外两组坐标轮换同样检查可知，含至少四点的非中心平面只有

这 $6$ 个面所在平面，以及

这 $12$ 个平面；它们每个都恰含 $4$ 个中点。

综上，含 $4$ 点的平面有

个，含 $6$ 点的平面有 $4$ 个，其余相关平面都恰含 $3$ 点。三点组计数把每个四点平面计了 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{3}\right)=4$ 次，把每个六点平面计了 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{3}\right)=20$ 次。因此所求不同平面数为