2012 年湖南预赛 · 第 6 题

思路

重心恒等式：n点有 ${\sum }_{i<j}|X_i-X_j{|}^2=n{\sum }_i|X_i-G{|}^2$；换到其他中心会额外增加 $n|O-G{|}^2$。

想法从哪来：把四个球心放成正四面体很自然，却只能给出一份能放进去的方案，不能据对称性断言最优。为证明任何放法都受同样上界，先写六对球心距的平方和：不相交要求每对至少两倍小半径，给总和下界。另一方面，利用四点重心恒等式把这六项改成到重心的距离平方和，再比较到大球心的距离平方和，后者由容纳条件统一控制。这个总量估计不预设四点共球或任何对称性。上下界相遇后，再放回正四面体构造，核它同时让每对球外切、每球与大球内切，才说明最优值可达。

对四个球心的六个距离求和，用重心恒等式给出装球半径上界。