2015 年辽宁预赛 · 第 9 题

复核

令 $m=n-1$（$n\ge 2$），得 $a_n=a_{n-1}/5$；由初值归纳得 $a_n=5^{-n}$，所以

故 $a=1/4$ 对每个有限正整数 $n$ 都可取。反之，若 $a<1/4$，置 $\delta =1-4a>0$。由归纳不等式 $5^n\ge 1+4n$，取充分大的正整数 $n$ 使 $1/(1+4n)<\delta$，便有 $5^{-n}<\delta$，从而 $S_n>a$，违背全称条件。因此最小值为 $\boxed{1/4}$，严格不等号并不排除此参数端点。