培玉 · 一试
2022 年北京预赛
三角形循环三角式的最大值
设 的三个内角分别为 ，假设
的最大值为 。将 写成最简分数后，其分子分母之和为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
解析
提示
先独立尝试，再展开工具说明与想法来源。
思路
凹函数Jensen不等式给定和时的正弦和上界；正弦在[0,π]凹。积化和差把三角循环项分成对称部分与反对称部分，反向循环交换后者的符号。
想法从哪来：循环式不能把三个角任意交换后当对称式用。先用积化和差，将它拆为对称的正弦和与带方向的角差和；前者由凹性控制，后者若非正就已足够，只有为正时才需补估计。此时循环轮换可把角排成一个固定次序，注意这里只轮换而非任意重排。把最大与最小角的差作为参数，正弦和相较等角情形留下的余量，恰能覆盖角差项；最小角大于零又提供所需三角比较。目标还含平方，所以仅得原循环式上界仍不够，要对反向循环同样估计，再利用两式之和为正控制负向幅度，最后核对等边取等。
先把循环式拆成对称的正弦和与角差项。普通 Jensen 不等式已经能控制正弦和；当角差项为正时，再按三个角的大小排列，用角差留下的余量补足即可。最后还要考察反向循环式，以排除 为负而绝对值过大的可能。
解答
记
由积化和差，
记
由正弦函数在 上的凹性，
若 ，由 (1)、(2) 立即有 。
以下设 。注意
循环轮换 不改变 和 ，故可设 。令
于是 ，并且
另一方面，，故
三个角 的和为 ，再次应用 Jensen 不等式，得到
又因
所以 。结合 (3)--(5)，
由 (1)，仍有
还需控制 的负值。令反向循环式
把 对换后，上述论证同样给出 。而
故 。因此
当 时等号成立，故
所以分子分母之和为
复核
时 ，确实取得 。证明同时对反向循环式应用同一上界，并由 得到 的下界，因而没有把“ 的上界”误当成“ 的上界”。
方法总结
循环三角式不具完全对称性。先用积化和差分离对称部分与角差部分，再利用角的次序把 Jensen 余量显式配给角差项；目标含平方时，还应借助反向循环式单独控制负值。
为什么评为 F4（会透露解法方向）
需将循环式拆为正弦和与角差和，用角差的正负选择相应估计并证明对称和的损失覆盖循环差；平方目标还要求另控制负值，不能只证上界。
已记下，谢谢！