培玉 · 一试
2025 年中科大少年班入围考 · 第 18 题
F4解答题概率
盒子里有个白球、个黑球。每次拿出一个球后，放回个与该球同色的球。问：
(1) 第次拿到白球的概率；
(2) 若，且第次拿到了白球，求第次拿到白球的概率。
作答
这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。
解析
思路
记录一条指定颜色序列的概率；若它只依赖白色总次数，就可交换抽取位置，将远处两次抽球移到前两次。
解答
记 ，每次操作对白球或黑球的净增量为 。在球数和过程有定义的自然参数域内，一条长 、恰含 次白球的指定颜色序列概率为
空积取一。它只依赖颜色总数，不依赖出现位置，所以各次颜色可交换。任意一个位置的白球概率等于第一次，即第一问 。同理，任意两个不同位置同时为白的概率等于前两次同时为白的概率
当第 次白球事件概率非零时，除以 得第二问
复核
球数是非负整数、初始总数非零，并须能完成题定抽取次数；条件事件还要求 。若 ，这是合法长度内的不放回抽取，颜色序列乘积同样成立；若 ，第一问为零而第二问的条件概率没有定义。不能把这些抽球结果当成相互独立。
方法总结
位置交换性来自整条序列的精确概率，而非每次球数不变；先证交换性，再化为一两次抽取。
为什么评为 F4（会透露解法方向）
须从整条颜色序列的概率证明位置交换性，再分别求边缘、联合和条件概率，保留过程可行与条件事件非零的边界。
已记下，谢谢！