2023 年中科大少年班初试 · 第 3 题

解答

初始两盒均混合，记 $p_0=1$。若当前两盒各一雌一雄，四种等可能的抽取性别配对中，两种同性交换后仍混合，两种异性交换后变为一盒两雌、一盒两雄，故混合状态下一步保持混合的概率为 $1/2$。

若当前两盒不混合，交换一只兔子后必各一雌一雄。因此

减去不动点 $2/3$，得 $p_{n+1}-2/3=-(p_n-2/3)/2$，结合 $p_0=1$，有