同一骨架 2025 年浙江预赛 · P006183
并集或包含关系固定时，可以用每个元素的归属状态重新描述两个集合。先把必然出现的部分与仍可选择的部分分开，原来的集合关系就变成了有限状态的选择问题。
一题还附带数值等式，另一题计算事件概率；集合的归属编码是共同的起点。
培玉 · 一试
2026 年福建预赛
F2填空题概率
已知全集 ，从中任取集合 的两个子集 （ 可以相同）。记事件 为“ 中最大元素为 ， 中最大元素为 ”， 事件 为“ 是 的子集”。则事件 的概率 。（用数字作答）
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
把样本点视为有标号的有序对子 。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
思路
事件 可逐元素按“不属于两者、只属于 、同时属于两者”三种状态计数，再用容斥处理并集。
解答
每个子集有 种选择，因此等可能样本点总数为
事件 中， 必含 、不含 ，元素 任取； 必含 ， 其余四个元素任取。因此
对事件 ，每个元素在 中有“不在 中”“只在 中”“同时在 中”三种状态，故
在 中，元素 必同时属于 ，元素 只属于 ，而 各有上述三种状态，所以
由容斥原理，
复核
中 的最大元确为 、 的最大元确为 ，固定的 没有额外选择； 约分时同除以 得 。
方法总结
两个带名称的随机子集应按有序对子计数。子集包含关系适合逐元素作三状态编码， 而“最大元素为某数”则等价于强制该数出现并排除所有更大元素。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
最大元素条件可直接固定元素状态，包含关系每元素有三种选择，再用容斥扣除同时满足两事件的27对集合。
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同一骨架 2025 年江苏预赛 · P006338
嵌套对象可以按互不影响的局部状态编码。一个因数再选因数，等价于每个素数的两个指数满足包含次序；两个集合的包含关系，则约束每个元素的归属状态。局部状态列全后，整体数量由各部分的选择数相乘得到。
素数指数的两层选择与元素归属的两层选择外形不同，实质都在逐坐标计数嵌套关系。
已记下，谢谢！