2022 年新疆预赛

思路

二次曲线与直线相切可由代入后的二次方程判别式为零判定；根的基本对称式把已知三根转换为多项式系数，再用于构造圆。

想法从哪来：两条抛物线交织的弦切条件，最先应选一条曲线统一参数化三角形顶点。对y=x平方，过两个参数点的弦斜率就是参数和、截距是负参数积；把这条线代入另一抛物线，相切条件便是一条对称代数关系。两条已有边分别相切，相减后因顶点不同可除去参数差，得到三参数的和；再代回得到积，第三边条件随之自动成立。共圆问同样利用这套和积信息：将一般圆代入参数点会得到四次多项式，按照三个已知参数根与一个额外根构造它，最后核对焦点也在此圆上。

用 $T(t)=(t,t^2)$ 参数化抛物线 $E$。两参数点的弦方程很简单，其与另一抛物线相切的条件可化为参数的对称关系。