2022 年全国高中数学联赛一试（A1 卷） · 第 10 题

解答

抛物线上切点可记作 $(t^2,2t)$，其切线为 $x=ty-t^2$。 若 $t=0$，切线为 $x=0$，与双曲线无交点，故 $t\ne 0$。 写成 $y=(x+t^2)/t$ 并代入双曲线，得

当 $t^2=1$ 时方程只有一个解，不合题意。令 $u=t^2>0$，交点横坐标 $x_1,x_2$ 满足

左右两支要求 $x_1{x}_2<0$，故 $u>1$；反之 $u>1$ 时乘积为负，二次方程确有两个异号实根，条件充分。

设面积为 $S$，则

令 $v=u-1>0$，展开可得

由 $v+1/v\ge 2$，得 $S^2\ge 4\cdot 5=20$，即 $S\ge 2\sqrt{5}$。 等号当且仅当 $v=1$，即 $u=2$ 时成立；此时取 $t=\sqrt{2}$，直线 $y=(x+2)/\sqrt{2}$ 的两个交点横坐标为 $2\pm \sqrt{10}$，确实一正一负。 故所求最小值为 $\boxed{2\sqrt{5}}$。