2026 年全国高中数学联赛一试（B 卷） · 第 5 题

解答

设 $\tan A=2t,\tan B=3t,\tan C=5t$。三角形至少有两个锐角，而三个正切同号，所以 $t>0$，三角形全部为锐角。由 $\tan A+\tan B+\tan C=\tan A\tan B\tan C$，得 $10t=30t^3$，故 $t=1/\sqrt{3}$。于是 $\sin A=\tan A/\sqrt{1+{\tan }^{2}A}=\boxed{2/\sqrt{7}}$。