2018 年天津预赛 · 第 15 题

解答

令 $H(x)=e^x-\cos x-x-x^2$，则 $H(0)=H^{\prime }(0)=H^{\prime \prime }(0)=0$，而 $H^{\prime \prime \prime }(x)=e^x-\sin x>0$ 对 $x>0$ 成立。逐层恢复得 $f(x)>x+x^2$，故 $\boxed{a_{n-1}>a_n+a_n^2}$。函数 $f$ 在正半轴导数为 $e^x+\sin x>0$，且从零增到无穷，递推正输入唯一且保持正。对 $n\ge 2$ 求和得 ${\sum }_{k=2}^n{a}_k^2<{\sum }_{k=2}^n(a_{k-1}-a_k)=1-a_n<1$，因此全部平方和小于二。Cauchy给 ${\sum }_{k=1}^n{a}_k<\sqrt{2n}<2\sqrt{n}$；$n=1$ 时直接成立。所以 $\boxed{\sum _{k=1}^n{a}_k<2\sqrt{n}}$。