2015 年安徽预赛 · 第 5 题

解答

令 $u=\cos x-\sin x\in [-\sqrt{2},\sqrt{2}]$，则 $\sin x\cos x=(1-u^2)/2$。原方程等价于 $a^2+au+(u^2-3)/2=0$，所以 $a=[-u\pm \sqrt{6-u^2}]/2$。正支 $p(u)=(-u+\sqrt{6-u^2})/2$ 始终正，且 $p^{\prime }(u)=(-1-u/\sqrt{6-u^2})/2<0$，因为 $\sqrt{6-u^2}\ge 2>|u|$。故其像集为 $[1-\sqrt{2}/2,1+\sqrt{2}/2]$；负支与之关于零对称。所求参数范围为 $\boxed{[-1-\sqrt{2}/2,-1+\sqrt{2}/2]\cup [1-\sqrt{2}/2,1+\sqrt{2}/2]}$。