2011 年黑龙江预赛 · 第 20 题

解答

共同缩放取 $a=1$，按题图取 $C=(0,0,0),A=(\sqrt{2},0,0),B=(0,1,0),E=(\sqrt{2},0,2/3),D=(0,1,1)$。内分关系给 $M=(\sqrt{2}/3,2/3,0)$。（1）$CM=(\sqrt{2}/3,2/3,0)$，$EM=(-2\sqrt{2}/3,2/3,-2/3)$，二者点积为零，所以 $\boxed{CM\perp EM}$。（2）平面 $MCE$ 过原点，法向可取 $n=(2,-\sqrt{2},-3\sqrt{2})$，模为 $2\sqrt{6}$。$CD$ 的方向为 $(0,1,1)$，故所成线面角 $\phi$ 的正弦为 $|n\cdot (0,1,1)|/(2\sqrt{6}\sqrt{2})=\sqrt{6}/3$。因此 $\boxed{\phi =\arcsin (\sqrt{6}/3)}$。