2010 年河南预赛（高二卷） · 第 13 题

解答

$x<0$ 时不可能相交，原点必为公共点。令 $h(x)=|\sin x|/x$（$x>0$）。在 $(0,\pi )$，它严格递减地由 1 趋零。第二半波写成 $h(\pi +u)=\sin u/(\pi +u)$（$0<u<\pi$），其导数分子 $N(u)=(\pi +u)\cos u-\sin u$ 满足 $N^{\prime }(u)=-(\pi +u)\sin u<0$，故只有一个峰点 $\alpha \in (\pi ,3\pi /2)$。对同一 u，后续半波分母更大，因此峰值严格更小。若 k 小于第二峰值，首半波一根、第二半波两根，加原点至少四个；若 k 大于该峰值，第二及以后无根，总数至多二。故恰三点只能是 k 等于第二峰值，此时后续无根，最大交点即 α，并满足 $\alpha \cos \alpha -\sin \alpha =0$，即 $\tan \alpha =\alpha$。于是 $\sin \alpha \cos \alpha =\alpha /(1+{\alpha }^2)$，且 $\sin \alpha +\sin 3\alpha =4\sin \alpha {\cos }^2\alpha$，所以 $\boxed{\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha +\sin 3\alpha }=\frac{1+{\alpha }^2}{4\alpha }}$。