同一骨架 2026 年湖南预赛 · P006035
先把图像对称或平移后的奇偶性写成真正的变换，再复合它们得到输入平移的作用；远处的求值与长和因此都能回到有限的一段信息。
斜轴反射的复合可能同时改变横纵坐标；另一题先出现函数值互补，再得到保持原值的周期，不能把两种平移混为一谈。
培玉 · 一试
2023 年福建预赛
F3填空题函数的图像与性质
已知函数 的定义域为 ，且 为奇函数， 为偶函数。若 ，则
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
把平移后的奇偶性各写成反射关系，再合成为步长固定的递推。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
思路
长和只需知道整数点上一个完整循环及末尾几项。
解答
第一条奇性给出 ；第二条偶性在把内层变量遍历实数后给出 。因此
在第一条反射关系取 ，有 ；已知 ，所以 、。从第一个正整数开始，函数值按 循环。于是
复核
，前 项和为 ，最后一项 ，再减去它得到 ，与余项法一致。这里仅需要 是一个周期，不需要证明它是最小正周期。
方法总结
轴对称与中心对称相继作用常产生平移关系。先区分一次平移是互补还是保持原值，再分块求和，并检查起始下标。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
须把给定的两个复合奇偶条件转为反射关系，推出隔两项和为4及四项周期后求总和。
联系 · 1 条
已记下，谢谢！