同一骨架 2024 年江苏预赛 · P006526
把某个复数表达式必须为实数的条件转成虚部为零，先处理由此产生的分支，再与模长或虚部约束联立，最后回代排除不合法分支。
平移后的平方出现实参数的符号分类；共轭分式则要先确认分母非零，再化为幂的虚部因式，不能直接套同一个代数方程。
培玉 · 一试
2014 年河北预赛 · 第 1 题
F2填空题复数的概念与运算
若复数 满足 ，且
是实数，则 。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
先由差与共轭确定虚部，再把给定实数分式改成三次幂除正实数；实数条件只约束三次幂的虚部。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
解答
设 ，其中 为实数。由 ，得 ，特别地 。又
分母是正实数，所以该式为实数当且仅当 ，即
因 ，可得 。因此
复核
全部可能值为 。它们都满足 ，而 为 或 ，分式 为 或 ，确是实数。四个分支给同一模长。
方法总结
含共轭的分式可乘适当的非零因子，先化成复数幂除正实数；再把实数条件变成虚部为零，保留全部符号分支。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
F2：写成x+yi后由模得y平方，再令商虚部为零，是相连的常规复数代数运算。
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