一试训练题

解答

先求可用$q$种颜色时的所有合法方案数$P(q)$。左列两灯有$q(q-1)$种；固定一列异色为$a,b$，下一列上灯若取$b$，下灯有$q-1$种；若取既非$a$又非$b$的颜色，有$q-2$种，上下与左右要求使下灯有$q-2$种。因此每增加一列可有$(q-1)+(q-2{)}^2=q^2-3q+3$种，共$P(q)=q(q-1)(q^2-3q+3{)}^2$。所以$P(4)=588,P(3)=54,P(2)=2,P(1)=0$。

(1)容斥排除缺色，恰用四种有$P(4)-4P(3)+6P(2)=588-216+12=\boxed{384}$种。

(2)先选使用的三色，有4种，对固定三色扣除只用两色的$3P(2)$种，得到$4(54-6)=\boxed{192}$种。