2013 年安徽预赛 · 第 6 题

解答

图中圆与切线是解答中导出的辅助对象，均用暗红虚线；两个空心点是必须去掉的点，$T$ 为最大斜率对应的切点。

原式须满足 $z\ne -2$，且商的虚部非零。化实得

因此题设等价于 $y\ne 0$ 且

这是圆心 $C(-3/2,\sqrt{3}/2)$、半径 $1$ 的圆，须去掉 $(-1,0),(-2,0)$ 两点。 圆上 $-5/2\le x\le -1/2$，故 $x\ne 0$。令 $k=y/x$，代入圆的方程得

存在实交点的必要条件是

于是

取 $k=k_{+}>0$ 时，方程有重根 $x=-(3-\sqrt{3}{k}_{+})/[2(1+k_{+}^2)]<0$， 相应 $y=k_{+}x<0$，故没有落在所去掉的两点，原商也有定义、虚部非零。 上界确实可达，所求最大值为 $\boxed{(4\sqrt{2}-3\sqrt{3})/5}$。