易混 2022 年山东预赛 · P006879
两题都有整数部，但整数约束进入推理的方式不同。直接代数方程可先把整数部当整数未知量；根式等式则要先发现不等式取等结构，再由比例关系迫出新的整数量并检查小数部分。
不能看到取整就机械地枚举所有单位区间，也不能把不等式等号分析强加到本来只是一个整数二次方程的题里。
培玉 · 一试
2023 年贵州预赛
F4解答题重要初等函数
记 分别为取整函数和取小数函数。已知方程
的解可以从小到大排列成递增数列 ，求数列 的通项公式。
作答
这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。
解析
提示
先独立尝试，再展开工具说明与想法来源。
思路
柯西等号要求两个非负向量成比例；零分量情况单独处理。写x=m+u后，可用平方差把u写成(x²-m²)/(x+m)，便于控制立方小数部。
想法从哪来：整数部与小数部相加还原原数，左边两根式恰好可看成两个二维向量的点积，所以先尝试柯西，而题目等式正好要求取等。整数x会使小数分量为零，要先拿出；对非整数，用等号比例把x平方乘整数部变成一个整数。再把这个整数写成整数部的立方加正整数s，问题就从实数方程变成s能取几个值。小数部必须小于一会给出强界，足以排除s≥2。得到候选后还要反查它确在预定单位区间，立方的整数部也正确，才能排列成递增数列，不能把取整只当必要条件。
左边是二维 Cauchy 不等式的等号型；先刻画等号，再利用整数部分把可能性压缩到每个单位区间两个解。
解答
写
由 Cauchy 不等式，
若 ，则每个正整数 都是解。若 ，等号条件给出 ，故 为整数。写
又
因 ，最后的分式大于 ；若 就有 ，矛盾。因此 ，
反过来，对每个 ，该数位于 ，并且 ，故 ，Cauchy 等号条件成立。 每个区间 的两个解依次为 与 ，所以
复核
非整数候选的平方满足 ；其小数部分条件已反代验证，故无增根或漏解。
方法总结
根式中同时出现整数部与小数部时，先把它们看成向量分量；等号条件常会强迫一个新的整数量。
为什么评为 F4（会透露解法方向）
先识别等式是柯西取等，再把比例条件化为整数量s并证只能为1，最后反查小数部分及所有解的次序。
联系 · 3 条
易混 2026 年江苏预赛 · P006060
两题都出现二维点积与模长，但对柯西的使用目标相反。原方程已处于柯西上界时，要刻画向量共线的等号刚性；求受限点积比值的最小值时，柯西上界本身不够，应研究两个方向允许张开的最大角。
同一个点积形式不意味着同一种取等策略；一个必须贴住上界，另一个要在分量约束下远离共线方向。
易混 2025 年山东预赛 · P006359
两题同时含整数部分与小数结构，却应先识别不同的数根机制：根式和的等式先看不等式取等，普通多项式与取整的等式则可在单位开区间固定整数部分，再用单调性和端点符号计数。
前题的等号关系会强迫新的整数量；后题靠每段端点符号决定是否有根，不能直接套用等号构造。整数点必须从两侧开区间中分离核查。
已记下，谢谢！