培玉 · 一试
2017 年湖北预赛 · 第 8 题
F2填空题概率
六个人围成一圈玩掷硬币游戏（硬币质地均匀），每人掷一次硬币。规定：硬币反面朝上的要表演节目，正面朝上的不用表演，则没有两个表演者相邻的概率为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
每个人是否表演构成六位独立的二元结果。
思路
按表演人数分类，计数圆环上互不相邻的位置集合。
解答
六次公平抛掷共有 个等可能结果。没有相邻表演者时，表演人数最多为 。
人表演有 种； 人有 种； 人从 对中去掉圆环的 对相邻位置，剩 种； 人时必须隔一人选一人，只有 与 两种。因此所求概率为
复核
圆环上的 号和 号也相邻，六条相邻边都须排除。没有人表演时同样满足“没有两个表演者相邻”，不能漏掉全正面的一个结果。直接枚举六位二元序列也得到 个合格结果。
方法总结
圆环上不相邻选择要处理首尾邻接；按选中人数分类时，应包含零个对象的情况。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
圆环中的不相邻选择可按选中人数短分类，但要保留无人被选和首尾相邻的情形；三人时只能交替选取，不能套直线排列的计数。
已记下，谢谢！