同一骨架 2022 年浙江预赛 · P006925
两题都先把允许的两两配对画成图，再数匹配。圆周配对要求每个顶点恰被覆盖，可分解成互不相交的环；对合映射还允许不动点，因此需要把未匹配顶点纳入递推，不能只保留完美匹配。
前题各分量都须完全配对；后题按端点是否固定及其匹配对象分类，允许部分匹配。
培玉 · 一试
2026 年广东预赛
圆周间隔限制下的两两配对
F3填空题经典的计数模型
有 名小朋友排成一圈，现在要将小朋友们两两配对，一共配成 对，并要求任意两名配对的小朋友之间恰好隔了 名小朋友。则共有种配对的方法。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
给圆周位置依次编号后，每个人只能与相距四个位置的人配对。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
思路
允许的配对边构成若干个互不相交的偶环，问题便化为偶环的完美匹配计数。
解答
把 个位置按模 编号为 。两名小朋友之间恰隔三人，当且仅当其编号之差为 。
因此允许的边按编号模 分成四个互不相交的六边形：
每个六边形的完美匹配只有两种，即交替选取它的三条边。四个六边形的选择彼此独立，故配对方法数为
复核
每个位置恰属于一个模 的六边形；每种六边形匹配覆盖其中六人且无重复。反过来，任何合法配对只能使用这些六边形的边，因此没有遗漏或重复。
方法总结
圆周上的固定间隔配对可以看成循环群上的图。先按步长与总点数的最大公因数分解成若干个环，再分别计算各环的完美匹配。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
把隔三人变为差±4，识别四个独立六圈后证明每圈仅两种匹配，才可相乘。
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