垫脚石（此题 → 相关题） 2026 年广东预赛 · P005942
先把整数坐标复数的模平方写成两个整数平方之和，连续的圆周约束就变成离散算术。简单题练习穷尽平方的可能性，进阶题还要先用模的乘法性分配各个整数范数，再排除互异性不允许的分配。
前题是一条平移后的整数圆；后题是多个范数的乘积分解，且坐标非负和对象互异都限制可选点。
培玉 · 一试
2026 年甘肃预赛
高斯整数的虚部
F1填空题复数的概念与运算
数学中把实、虚部均为整数的复数称为高斯整数。已知复数 是高斯整数，且满足
则满足条件的复数 的虚部为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
把高斯整数写成整数坐标后，模长条件就是一个二元整数平方和方程。
思路
该方程右端很小， 可以完整枚举平方数，而无须逐个枚举复数。
解答
设
则
由于不超过 的整数平方只有 ，两平方之和为 时只能均为 。故
从而
因此 的虚部为
复核
四个复数 都是高斯整数，且它们与 的距离均为 。平方和的枚举已穷尽所有整数解，故没有遗漏其他虚部。
方法总结
复数模长与平面距离等价；当实部、虚部受整数限制时，应先平方，把问题转化为整数平方和。 右端较小时，列出允许的平方数即可完成穷尽分类。
为什么评为 F1（会透露解法方向）
写成a²+(b−1)²=8后，不超过8的平方仅0、1、4，直接得到虚部3或−1。
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