同一骨架 2023 年全国高中数学联赛一试（B 卷） 第 4 题 · P007133
两题都可把允许的整数放到一条数轴上，看参数改变时哪些点进入或退出。关键不是只解出一个方程，而是先找计数规则发生变化的位置，再核对候选值所属的范围。
一题从子集个数反推整数点数，另一题从概率反推抽取范围。
培玉 · 一试
2023 年吉林预赛
F2填空题集合与简易逻辑
已知集合
若集合 的子集个数为 ，则实数 的取值范围是 。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
先由子集个数反推出交集恰有两个元素，再利用 把问题化为整数点计数。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
思路
将二次式配方后，只需比较允许的 整数点到 的距离。
解答
设 。有限集合的子集个数为 ，故
因为 ，所以 中的元素都是整数。对整数 ， 条件 等价于
另一方面，
在所有满足 或 的整数中， 最小的三个值依次为
分别在 处取得；而 时 。 因此恰有两个整数点满足不等式，当且仅当
化简得
复核
当 时， 使二次式小于 ，而 使其等于 ，故恰有 两个元素；当 时， 也只能使二次式等于 ，交集中只剩 ， 所以左端点可取、右端点不可取。取 会把 纳入，取 则至多保留一个整数点，范围没有遗漏。
方法总结
“子集个数”先转化为原集合基数；当另一个集合限制为整数时，再把连续不等式问题化为 离散点计数。配方后按到对称轴的距离排列候选整数点，比较第 个与第 个 阈值，就能同时确定参数范围及端点开闭性。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
子集数4先转为两个整数，再按到4的距离比较0,1,4三个阈值，分类短且边界明确。
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易混 2023 年甘肃预赛 · P006671
题面都有二次式和集合关系，但一个集合由方程的根组成，另一个由满足不等式的整数点组成。前者要控制根的位置，后者要数通过阈值的整数，不能把“两个元素”一律理解成两个端点。
先认清集合的元素是谁，再决定比较根还是比较相邻整数的进入时刻。
同一骨架 2022 年甘肃预赛 · P005922
两题都把二次不等式与另一范围取交后数整数点。连续区间本身不是答案，关键是按端点或到对称轴的距离排列整数进入的阈值，再用所需点数与下一个点的阈值夹出参数。
一个用韦达固定根积后追踪右端点，另一个配方后追踪到轴的平方距离；端点开闭分别由各自严格或非严格不等式决定。
已记下，谢谢！