2015 年黑龙江预赛 · 第 16 题

解答

（1）取 $x_1=1$，要求 $1/x_2^2=1$，有 $x_2=\pm 1$ 两解，不唯一，所以假。

（2）该函数在给定区间严格递增，值域为 $[\sqrt{2}-1,\sqrt{2}+1]$。两端之积为 $1$，故区间内任一正数的倒数仍在该区间，且由单射性只有一个原像，所以真。

（3）$2^{x_1}{2}^{x_2}=1$ 当且仅当 $x_2=-x_1$，唯一存在，所以真。

（4）取 $x_1=1$，$\ln x_1=0$，不能与任何函数值相乘得到 $1$，所以假。

（5）取同域为 $\mathbb{R}$ 的 $f(x)=2^x,g(x)=2^{-x}$。它们各自都满足定义，但乘积恒为 $1$，每个输入有无穷多个可选的另一输入，唯一性失败，所以假。

综上，全部真命题的序号为 $\boxed{2,3}$。