一试训练题

解答

第一式：$\phi (u)=3^u+2u$ 严格递增，$\phi (x)=7$。第二式要求 $y\ne 2$，且 ${\log }_3(y-2{)}^2=2{\log }_3|y-2|$。若 $y>2$，令 $y-2=3^u$，方程化为 $2u+3^u+2-9=0$，即 $\phi (u)=7=\phi (x)$，所以 $u=x$，$y=2+3^x=2+(7-2x)=9-2x$。若 $y<2$，令 $2-y=3^u$，方程化为 $2u+2-3^u-9=0$，即 $2u-3^u=7$；但 $\psi (u)=2u-3^u$ 的最大值在 $3^u\ln 3=2$ 处，此时 $\psi =2u-\frac{2}{\ln 3}$，而 $u={\log }_3\frac{2}{\ln 3}<1$，所以 $\psi <2<7$，无解。因此 $2x+y=\boxed{9}$。