一试训练题

解答

（1）当 $u\ne v$ 时，

$u=v$ 时也成立，所以 $f_1\in A$。 取 $u=-7/8$，$v=-3/4$，则 $|f_2(u)-f_2(v)|=1$，而 $3|u-v|=3/8$，故 $f_2\notin A$。

（2）对 $u\ne v$，条件等价于 $|a(u+v)+b|\le 3$。 任意 $s\in (-2,2)$ 均可写成两个不同的 $u,v\in (-1,1)$ 之和，故条件等价于

再由线性式的连续性，等价于 $|b+2a|\le 3$、$|b-2a|\le 3$，也就是

因此 $0\le a^2+b^2\le 4a^2+b^2\le (2|a|+|b|{)}^2\le 9$。 反之，任给 $r\in [0,9]$，取 $a=0,b=\sqrt{r}$，即满足（1）且 $a^2+b^2=r$。 所以所求范围为 $\boxed{[0,9]}$。

（3）由 $f(2)=6$，有 $b=3-2a$，代入（1）得 $\boxed{0\le a\le 3/2}$。 当 $a=0$ 时，$f(x)=3x$，故 $|f(x)|\le 6$ 的解集为 $[-2,2]$，从而 $m=-2$。 以下设 $a>0$。此时

故 $f(x)\le 6$ 当且仅当 $-3/a\le x\le 2$。 抛物线顶点横坐标为 $x_0=(2a-3)/(2a)$，最小值为

记 $\alpha =(9-6\sqrt{2})/2$。 当 $\alpha \le a\le 3/2$ 时，$f(x_0)\ge -6$，所以整个 $[-3/a,2]$ 都满足 $|f(x)|\le 6$，其左侧立即有 $f(x)>6$，故 $m=-3/a$。

当 $0<a<\alpha$ 时，$f(x_0)<-6$。方程 $f(x)=-6$ 有两个不同实根，中间区间使 $f(x)<-6$，因此含 $2$ 的可行相连区间只能从较大根开始，故

这个起点左侧立即出现 $f(x)<-6$，不能再向左延长。 综上，