同一骨架 2026 年吉林预赛 · P006048
反复把上一次值送入同一个变换，先识别初值所在的有限闭轨道，再用迭代下标在轨道长度上的余数读取结果。最小轨道长度及每一步有定义都要核验。
分段变换可直接逐点计算；分式变换还可借三角加法描述轨道。
培玉 · 一试
2025 年北京预赛
正切型分式递推的三周期
F3填空题递推数列
定义数列 ：
若 的最小正周期为 ，则 。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
递推式正是正切加法公式对应的分式线性变换。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
思路
把常数写成 ，周期条件就化为角度模 的周期条件。
解答
任取 使 。由正切加法公式，递推给出
其中题设保证递推中各分母均有意义。周期为 要求
在上述区间内，。 时数列为常数列，最小正周期是 ，故
又 ，所以 。直接代入可得
于是
复核
时前三项为 ； 时后二项交换，均互不相同且第 项回到 ，最小正周期确为 。
方法总结
形如 的迭代优先识别为正切加法；最小周期还需排除更短周期，而不能只验证三步后回到初值。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
识别递推为角度累加，将最小周期3转成3θ为π整倍数并排除常数列，两种正负角都须保留且检查无极点。
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同一骨架 2023 年内蒙古预赛 · P006731
两题都利用正切加法的分式结构把代数运算还原为角的累加。合成若干次变换后出现多倍角，短角周期或特殊倍角再把大表达式压缩。
静态三角乘积使用加减角组合，递推题则把同一个分式变换反复作用；后者还要排除较短周期并核每一步分母。
已记下，谢谢！