垫脚石（此题 → 相关题） 2018 年湖北预赛 第 8 题 · P010152
先将整除条件化成下标的完整余类，并证明保留下来的余类既必要又充分；进一步筛选递增数列时，还可用每周期的保留数，把新序号恢复成原下标后计算所求余数。
前题止于合并幂周期与下标余类；后题必须另核通项严格递增、第一项是否计入，以及目标序号在尾周期中的位置，才可完成再次取模。
培玉 · 一试
2009 年陕西预赛 · 第 6 题
F2填空题数论
对于 ，若 是 的整数倍，则 被 除所得余数构成的集合是 。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
二的幂模三只分奇偶，将它与下标模三合并成模六的完整周期。
解答
（ 偶）或负一（ 奇）模三。若 偶，要 就需 ，合并得 ；若 奇，则需 ，合并得 。反过来这两种余数都满足原整除条件。因此所求余数集合为 。
复核
在六个余类中，表达式模三依次为一、零、零、一、二、二，与分奇偶分析一致；每个保留余类都有正整数代表。
方法总结
底数幂的小周期与下标余类叠加时，用最小公倍数统一周期，必要性和充分性均按余类核。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
需同时考虑指数奇偶与下标模三余数，再合并为模六条件并核充要性。
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