同一骨架 2009 年天津预赛 第 8 题 · P010454
凸多边形内的弦是否相交由端点的圆周交错次序决定；把这个次序条件写准确后，还要处理多条弦共点造成的退化或重复，不能把每个相交组合都当成不同目标。
前题按三条弦所用原顶点数分类计三角形，禁止三对角线共点由题设提供；后题先按相邻起点数交对，再利用等长弦共切一个同心圆，另外证明不同交对确实对应不同内交点。
培玉 · 一试
2026 年北京预赛
F4填空题组合计数综合
已知一个凸 边形的任意三条对角线不交于一点，则这个凸 边形的所有边与对角线 围成的三角形的个数为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
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想想一道相关的题
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思路
凸多边形中两条无公共端点的弦相交，当且仅当四端点在边界上的顺序交错。这里统计的是任意三条所画线段围成的三角形，允许其内部再有别的线段。
想法从哪来：交点很多时直接数小三角形，容易漏掉包含别的线段的大三角形。先把每个三角形提升成支撑它的三条弦；只要三条弦两两相交且交点不同，就对应一个三角形。于是问题从平面碎片转成三条弦使用了多少个原顶点。 三条弦共有六个端点位置，实际不同端点只能是三至六个。对每种数量，只需在相应少量顶点上判断循环次序怎样允许相交，得到固定系数，再乘选顶点的组合数。要特别排除三弦共用一个原顶点的星形，以及三条对角线内部共点的退化情形；题目的一般位置条件正是为后一项准备的。
每个所求三角形由三条弦的两两交点确定。按这三条弦一共使用多少个原多边形顶点分类， 比直接按交点类型容斥更稳定；端点数只能是 。
解答
把边和对角线统一看作连接两个原顶点的弦。一个三角形对应三条两两相交、且三个交点互不相同的弦； 反之这样的三条弦恰围成一个三角形。按三条弦所用的原顶点数分类。
若使用 个顶点，三条弦就是这三个顶点间的三条边，每个三元组给出 个三角形。
若使用 个顶点，三条弦的端点图必须是一条长为 的路。两条不相邻的端弦必须是四边形的 两条对角线，中间一条弦可连接这两条对角线的任意一对端点，故每个四元组给出 个三角形。
若使用 个顶点，恰有两条弦共用一个端点。固定这个公共端点后，为使第三条弦同时穿过前两条弦， 其余四点的配对方式唯一；公共端点有 种选择，故每个五元组给出 个三角形。
若使用 个顶点，三条弦两两无公共端点且必须两两相交。六点按圆周排列后，配对只能是三条 “相对”的弦，故每个六元组给出 个三角形。
题设排除了三条对角线共点造成的退化或重复，因此总数为
复核
三条弦至多使用六个端点；四端点的星形三弦在同一原顶点相交，不构成三角形，已被排除。 五端点和六端点情形分别按唯一公共端点与完全匹配计数，不会与低端点类别重叠。
方法总结
凸多边形的全弦图中，先把小图形还原为若干原顶点之间的弦，再按“端点并集大小”分类。 圆周交错次序决定弦是否相交，通常能把每一类化成固定常数乘组合数。
为什么评为 F4（会透露解法方向）
需要按三条边所用原顶点数3至6分类，并逐类辨认可形成三角形的图形数，避免交点形成三角形的漏计与重复。
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