2023 年四川预赛

F4解答题不等式的证明

给定整数 $n \geq 2$ 。已知 $2 n$ 个正实数 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{2 n}$ 满足

(k = 1 \sum n a_{2 k - 1}) (k = 1 \sum n a_{2 k}) = k = 1 \prod n a_{2 k - 1} + k = 1 \prod n a_{2 k} .

求

S = k = 1 \sum 2 n \frac{a _{k}^{n - 1}}{a _{k + 1}}

的最小值，其中 $a_{2 n + 1} = a_{1}$ 。

作答

这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。

为什么评为 F4（会透露解法方向）

需按奇偶把循环分式积与约束的两组乘积对齐，再用两组和的均值接续下界；等号还要区分n=2的尺度退化与n>2，不能直接全取相等。

用到的方法（会透露解法方向）