2025 年广州预赛

解答

记

在经过 $A,P$ 且垂直于 $BC$ 的截面内，二面角的正切为

又因 $BC=1$，比较 $△ABC$ 的两种面积表示，得

所以

设 $q=\cos \alpha$，$p=bc$。由 $b+c=2$ 及余弦定理，

即

把 (2) 代入 (1)，得到

故 $q=\frac{3}{5}$，进而 $p=\frac{15}{16}$。由

可知 $\{b,c\}=\left\{\frac{3}{4},\frac{5}{4}\right\}$。所以底面三角形的三边为

是直角三角形。

不妨建立坐标

四点外接球球心为

故

外接球表面积为