2012 年黑龙江预赛 · 第 2 题

在一次高二年级组织的联欢活动中，参加者要完成甲、乙、丙三个项目。已知某选手完成 甲、乙、丙三个项目的概率分别为 $\frac{3}{4},\frac{3}{4},\frac{2}{3}$，每个项目完成与否 相互独立。

1. (1)

   若该选手把甲、乙、丙三个项目各做一次，求该选手至少完成一个项目的概率；

2. (2)

   若活动组织者要求项目甲、乙各做两次，项目丙做三次。如果两次项目甲都完成， 则进行项目乙，同时获得积分 $\mu$；两次项目乙都完成，则进行项目丙，并同时获得积分 $3\mu$；三次项目丙只要有两次完成成功，则选手闯关成功并获得积分 $6\mu$。 已知积分不累计，用 $\xi$ 表示该选手所获积分的数值，求 $\xi$ 的分布列和数学期望。