2016 年河南预赛 · 第 12 题

解答

定义 $u_1=1,u_2=4,u_{n+1}=4u_n-u_{n-1}$。由 $u_2>u_1>0$ 归纳得 $u_{n+1}>u_n>0$，且所有 $u_n$ 为整数。二次式

在此递推下满足 $Q_{n+1}=Q_n$，而 $Q_2=1$。因此

由 $u_n>0$，这正是原题的正平方根关系。原关系在前一项非零时唯一决定下一项；从两个相同初值逐步归纳，得 $a_n=u_n$。所以 $\boxed{a_n\in \mathbb{Z}(n\ge 1)}$。 再由相邻二次不变量，$a_n^2+a_{n+1}^2-4a_n{a}_{n+1}=1$，故

右边是整数的平方，完成证明。