一试训练题

解答

定义域为 $[-1,1]$，且 $2+x\ge 1$，故 $y\ge 0$。由

得 $y^2\le 1/3$，所以 $0\le y\le 1/\sqrt{3}$。 当 $x=\pm 1$ 时 $y=0$，当 $x=-1/2$ 时 $y=1/\sqrt{3}$。函数在 $[-1,1]$ 上连续，故取遍两端之间的所有值，所求值域为 $\boxed{[0,1/\sqrt{3}]}$。

辅助图把 $P=(x,\sqrt{1-x^2})$ 放在单位上半圆上，纵坐标记为 $v$。从 $A=(-2,0)$ 到 $P$ 的直线斜率为 $v/(x+2)$，正是原函数值。图中标出的点 $P=(-1/2,\sqrt{3}/2)$ 满足 $\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{AP}=0$，其切线斜率与上面的取等值一致；全域界仍由已证明的平方恒等式保证。