2023 年江西预赛

思路

这里的有限仿射平面可直接理解为模3方程 $y=sx+t$：不同斜率的方程可唯一消元求交，同斜率异截距无交。无需把完整有限几何理论作为前提。

想法从哪来：两张卡片恰有一个共同动物，适合把卡片对按这个唯一公共动物归类。 先记每种动物出现次数 $r_i$，关联总数给出一次和，卡片对总数给出二次和；柯西把它们接起来就能限制卡片数。等号要求每种动物出现次数相同，提示寻找高度对称的小模板。 十二种动物可拆成九个平面点与三个额外标记。试模3的三种斜率、三种截距，共九条线：异斜率恰交一点；同斜率本来不交，便补上各自斜率的同一个额外标记。这样把两类交集都统一成恰好一个。

把动物看作点、卡片看作四元子集。先由每种动物的出现次数作双计数，再给出达到上界的有限域构造。