2012 年湖北预赛 · 第 1 题

解答

分母 $x^2+4x+7=(x+2{)}^2+3>0$，所以定义域为 $x\ge -1$。 令 $t=x+1\ge 0$，则

由 $(t-2{)}^2\ge 0$，得 $t^2+2t+4\ge 6t$。于是 $0\le f(x{)}^2\le 1/6$，上界在 $t=2$，即 $x=1$ 时取得；下界在 $x=-1$ 时取得。 函数在闭区间 $[-1,1]$ 上连续，两个端点值分别为 $0,\sqrt{6}/6$， 故由介值性，其间每个值均能取到。 因此值域恰为 $\boxed{[0,\sqrt{6}/6]}$。