2019 年全国高中数学联赛一试（B 卷） · 第 4 题

解答

底面是边长2的正三角形，面积 $\sqrt{3}$。取AB中点M，由 $PA=PB=3$ 知P在AB的垂直平分面内，且 $P{M}^2=P{A}^2-A{M}^2=8$。P到底面ABC的距离不大于PM，故体积不大于 $\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{2}/3=2\sqrt{6}/3$。当 $PM\perp$ 平面ABC时，PA、PB仍为3，且P不在底面上，能够取等。因此最大值 $\boxed{2\sqrt{6}/3}$。