2022 年广西预赛

解答

设等边三角形为 $ABC$，从 $A$ 出发，并令

任何完成任务的路线都必须进入以 $B,C$ 为圆心、半径 $r$ 的圆盘。若路线先到达 $X^{\prime }$，满足 $B{X}^{\prime }\le r$，以后到达 $Y^{\prime }$，满足 $C{Y}^{\prime }\le r$，则路线长度 $L$ 满足

点 $B$ 到直线 $AC$ 的距离为 $\sqrt{3}$，故 $X^{\prime }$ 到直线 $AC$ 的距离至少为 $\sqrt{3}-r=r$。以 $AC$ 中点为原点、$AC$ 为横轴，若 $X^{\prime }$ 的坐标为 $(t,h)$，则 $|h|\ge r$，从而

由 (1)、(2) 得

反向次序同理。

设 $M$ 为 $AC$ 中点，$X$ 为 $BM$ 中点，则

在线段 $XC$ 上取点 $Y$，使 $CY=r$。沿折线 $A-X-Y$ 行走，路程为

线段 $AX$ 的闭 $r$ 邻域是凸集；它包含 $A$，并由 $BX=MX=r$ 包含 $B,M$，故覆盖整个 $△ABM$。同理，线段 $XY$ 的闭 $r$ 邻域包含 $B,C,M$，故覆盖整个 $△BCM$。两三角形之并为 $△ABC$，所以路线确实完成探测。

因此最短路程为