2019 年中科大少年班初试 · 第 11 题

解答

定义 $p_0(x)=1,p_1(x)=x$，并递推 $p_{n+1}(x)=2x{p}_n(x)-p_{n-1}(x)$。由恒等式 $\cos ((n+1)\theta )=2\cos \theta \cos (n\theta )-\cos ((n-1)\theta )$ 归纳可知 $p_n(\cos \theta )=\cos (n\theta )$，从而证明(1)。 对 $n\ge 1$，递推还说明 $\mathrm{deg}{p}_n=n$，首项系数为 $2^{n-1}$。取

这些角都在 $(0,\pi )$ 内且互不相同；余弦在该区间严格递减，所以 $\cos {\theta }_k$ 是 $n$ 个互异实数，并且 $\cos (n{\theta }_k)=0$，均为 $p_n$ 的根。根数已达次数，结合首项系数得到

这就是实数范围内的完全因式分解。