垫脚石（此题 → 相关题） 2015 年辽宁预赛 第 9 题 · P010895
先从可加指标上的乘法关系取一个指标为一，证明整列由首项的幂决定；再把同一结构用于前缀和的统一上界。
正项与一个远处项确定首项时须筛开方符号；已给首项且求全体有限和的界时，还要判断极限边界能否作为参数取得，严格号不自动排端点。
培玉 · 一试
2022 年吉林预赛
F2填空题等比数列与等差数列
已知数列 的各项均为正数，若对于任意的正整数 ，总有
且 ，则 。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
取 可把函数型递推降为等比关系，正项条件使开方时没有符号分支。
解答
由 归纳得 。又
因 ，故 ，于是
复核
所得数列 满足 ，且 。
方法总结
正整数指标上的乘法型函数方程通常由 决定全部项，再用一个已知项确定公比。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
令一个指标为1得到常公比递推并归纳，再由正性取a1的正八次根，求a10直接。
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