同一骨架 2023 年甘肃预赛 第 3 题 · P006674
两题都先确认边向量的方向，将数量积约束转成三边的二次关系，再除去正的尺度，研究边长比与角的余弦。代数所得的比例仍要回到真实三角形，核查非退化性以及所问角究竟是哪一个。
两题的原数量积约束不同。前题留下连续的边比，用互倒正量的基本不等式定界并构造取等；后题另有已知角，结合余弦定理将边比压成有限分支，还要由边的大小判断最大角。
培玉 · 一试
2014 年湖北预赛 · 第 3 题
F2填空题向量的数量积与几何意义
在 中，，，则 的最大角的余弦值为 。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
一个夹角已知，数量积就能转成相邻两边乘积；再与余弦定理中的同一乘积联立，消掉对边平方。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
思路
这样只剩两邻边的比例方程，两根互为倒数表示交换两个顶点，不影响最大角，最后按边长顺序识别该角。
解答
设 。数量积条件给出 ，即 。 结合余弦定理 ，得 。 于是正数 满足 ，即 或 。 交换 不影响所求，故可设 ，进而 。 等边对等角知 ，故最大角 ，所求为 。 上述边比确实给出 的非退化三角形。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
数量积先化成边长平方关系，与余弦定理联立得到两种互换的边比；最大角须由边角对应判断，不能只选已知角。
联系 · 1 条
已记下，谢谢！