截面与折叠

折叠可看作绕一条直线旋转。点到折痕的距离不变，沿折痕的投影也不变。例：折痕为 $x$ 轴，点 $(2,3,0)$ 旋转后可写成 $(2,3\cos \theta ,3\sin \theta )$；当 $\theta =30^{\circ }$ 时，到原平面的距离是 $3/2$。求锥体体积最大，先辨固定底面，再最大化真正的垂直高，不把侧棱长当高。

两向量沿同一单位折轴的分量为 $a,b$，各自垂轴分量长度为 $r,s$，若垂轴方向夹角为 $\delta$，则点积为 $ab+rs\cos \delta$。例：$a=1,b=2,r=2,s=3,\delta =60^{\circ }$ 时，点积为 $5$，两向量长度为 $\sqrt{5},\sqrt{13}$，端点间距离为 $2\sqrt{2}$。二面角要按指定两半平面的方向取，不能任意换成补角。

两个平面的通常夹角取不超过 $90^{\circ }$ 的值，法向量余弦须取绝对值；指定两半平面的二面角则应比较垂直交棱的有向射线。例：平面 $x+y+z=0$ 与 $z=0$ 的夹角余弦为 $1/\sqrt{3}$。坐标轴必须正交且尺度一致；把不同方向非等比伸缩后，不能仍用普通点积计算原空间角度。

平面截凸多面体时，若交集是非退化的平面区域，截形为凸多边形，顶点来自棱与平面的交点，但棱的延长线交点须排除，重复的原顶点只计一次。例：单位正方体内 $x+y+z=1$ 的截面是三个坐标轴端点组成的三角形，面积为 $\sqrt{3}/2$。若改为 $x+y+z=3/2$，则有六个顶点。求周长或顶点内角之前，先沿各个面找出实际相邻边。

平行四边形的面积是邻边向量叉积的模，三角形还须乘 $1/2$。例：$\mathbf{u}=(1,0,1)$、$\mathbf{v}=(0,2,0)$，叉积为 $(-2,0,2)$，相应平行四边形面积为 $2\sqrt{2}$，三角形为 $\sqrt{2}$。一般截面可按顺序分成三角形；取给定三点计算的面积，未必就是完整截面的面积。

球半径为 $R$，球心到截平面的距离为 $d$，非退化截圆半径满足 ${\rho }^2=R^2-d^2>0$。例：原点及三条坐标轴上距离原点为 $2$ 的点，共球球心为 $(1,1,1)$，$R^2=3$。平面 $x+y+z=1$ 到球心距离为 $2/\sqrt{3}$，故 ${\rho }^2=5/3$。四点定球须先核不共面；$d=R$ 时只剩切点。

折叠后若几个端点重合，可先合并为新顶点，再利用它到未动底面顶点的距离，确定正投影与高。例：底面三点为 $(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0)$，空间点到三点的距离均为 $2$，平方距离相减给投影 $(1,1,0)$，高为 $\sqrt{2}$，三棱锥体积为 $2\sqrt{2}/3$。镜像的两个高符号给相同体积，不应重复改变边长。

线段上的动点要保留闭区间参数，直角条件也要按可能顶点分类。例：$X(t)=(t,1-t,2t)$，$0\le t\le 1$，到原点距离平方为 $6t^2-2t+1$，最小为 $5/6$，在 $t=1/6$ 取得；若限制 $1/2\le t\le 1$，最小改为 $3/2$，在端点取得。得到代数界后仍须核点在原棱或线段内，且平面、三角形未退化。