培玉 · 一试
2026 年内蒙古预赛
等夹角三棱锥的内切球体积
F3填空题立体几何综合
三棱锥 中，
且三个侧面的面积分别为
则三棱锥的内切球体积为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
三个侧面都含顶点 ，且两棱夹角均为 ，所以侧面积立即给出三条侧棱的 两两乘积。
思路
恢复侧棱后，用 Gram 行列式求三棱锥体积，再求底面积和总表面积，最后由 得内切球半径。
解答
记
三个侧面的面积均为相应两棱乘积的 ，故在适当对应次序下
于是三条侧棱的长度为 。不妨取 。
三条侧棱两两夹角为 ，故其单位方向向量的 Gram 行列式为
三棱锥体积为
由余弦定理，底面 的三边长为
因此底面积为
三个侧面积之和为 ，故总表面积
设内切球半径为 。由 及 (1)，
所以内切球体积为
复核
即使三个侧面积与三个面名称的对应次序互换，所得侧棱长度仍只是 的排列， 体积、底面三边多重集和最终答案均不变。
方法总结
共同顶点处的夹角已知时，侧面积能直接恢复侧棱乘积。三条空间向量的体积因子可由 Gram 行列式统一计算；求内切球时，再把四个面到球心的四个小锥体积相加得到 。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
由三侧面积还原三侧棱，再结合两两60度求空间高和底面边长，最终用r=3V/S求球体积，体积定位需独立选择坐标或投影。
已记下，谢谢！