一试训练题

解答

（1）和、差显然仍是 $a+b\sqrt{3}$ 型；$(a+b\sqrt{3})(c+d\sqrt{3})=(ac+3bd)+(ad+bc)\sqrt{3}$，系数仍为整数，故真。（2）$1,2\in \mathbb{N}$ 但 $1-2=-1\notin \mathbb{N}$，故假。（3）$\{0\}$ 是封闭集（$0+0,0-0,0\cdot 0$ 都等于 $0$）但不含 $1$，故假。（4）对封闭集 $S$ 取 $x\in S$ 得 $0=x-x\in S$，同理 $0\in T$，所以 $S\cap T$ 非空；对 $x,y\in S\cap T$，三种运算的结果同时落在 $S$ 与 $T$ 内，故真。所以真命题为 $\boxed{\text{（1）、（4）}}$。