培玉 · 一试
2013 年陕西预赛 · 第 5 题
F2填空题等比数列与等差数列
已知三个互不相等的整数 之和介于 与 之间。若 依次构成公差为 的等差数列， 依次构成公比为 的等比数列，则 的值是。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
用等差中项代表三个整数，先由总和定位中项，再将三个和的等比条件化成公差方程，保留负公差。
解答
写 ，因三整数互异，。总和为 ，在四十与四十四之间只可能为四十二，故 。三个和为 ，由等比条件
化简为 。因此 ，三个和依次为 ，公比 。于是
复核
还原 ，三者确是互异整数，原等差公差为 ；其和为42。三个指定和均非零且相邻比都为 。题目没有要求三个整数为正，不能删掉此支。
方法总结
整数等差中项由总和先定位，等比中项平方再求公差。原题允许实数或整数负值时，要保留负公差、负公比并回验非零。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
先用整数等差中项和狭窄总和范围确定中间项，再将指定顺序的三个和代入等比条件；负公差、负公比以及非零要求都要回验。
已记下，谢谢！