2016 年黑龙江预赛 · 第 11 题

解答

原不等式等价于存在 $x\ge -2$，使 $a\ge H(x)=x^3-3x+3-x{e}^{-x}$。有 $H^{\prime }(x)=(x-1)[3(x+1)+e^{-x}]$。由 $e^{-x}\ge 1-x$，括号在 $x\ge -2$ 时为正：其下界为 $4+2x$，在负二处原指数不等式又严格。故 $H$ 在一左侧递减、右侧递增，最小值为 $H(1)=1-1/e$。因此选 $\boxed{\mathrm{D}}$。